初窥线性代数的本质（一）

这是一篇观3Blue1Brown大神线代视频讲解有感。

向量究竟是什么

• 物理学家观点：

  • 向量是一个矢量，有长度、方向，可以随意移动，以二维或三维在坐标系中存在

• 数学家观点：

  • 向量是抽象的、通用的，只需要保证满足
    • 向量加法
    • 向量之间的数乘

• 计算机学家观点：

  • 向量是有序的数字列表，维度等于列表的长度

线性组合、张成的空间与基

a.线性组合

空间中不共线的两个不为零向量都可以表示空间中的任意一个向量

b.空间的基

向量中的基底

c.张成的空间

基底所能组成的平面或立体空间

d.线性相关

有多个向量，移除其中一个向量而不减小其所张成的平面或空间，就称他们为线性相关

矩阵与线性变换

a.线性变换

• 原点保持固定
• 直线在变换后仍然保持为直线

b.矩阵

• 矩阵是对坐标轴上的基进行变换，并在最后作用在向量坐标上（旋转，剪切）

矩阵乘法与线性变换的复合

a.复合变换

旋转矩阵 + 剪切矩阵 = 复合矩阵

b.矩阵乘法

从右往左读

附注1. 三维空间中的线性变换

通过使用三维矩阵来表示这些变换，我们能够将复杂的现实操作转化为简洁的数学形式，这样就能够更轻松地进行分析、计算和控制。

矩阵表示在连接数字和现实之间扮演着重要的角色，成为描述和控制现实世界运动和变形的重要工具和桥梁。在工程和科学领域，这种方法被广泛应用，帮助我们更好地理解和应用现实世界中的各种形态变化。